《微积分之美：伟大定理和天才的数学思维》侯丹【文字版_PDF电子书_】
| 书名：微积分之美 作者：侯丹 出版社：机械工业出版社 译者：无 出版日期：2026-5 页数：256 ISBN：9787111804567 |
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内容简介：
微积分及其背后的数学思维是描述、理解和优化不断变化的世界和AI的底层语言。本书是一本可帮助所有数学爱好者理解微积分底层思维的科普书。书中不仅用颇具趣味性的方式介绍了微积分算法，还通过兼具严谨性与趣味性的故事及曾困扰伟大数学家的经典问题，带你与那些数学天才一起重新认识跨越百年的微积分，洞悉天才们的解题思路与创新逻辑，从而真正理解微积分。
本书从戴德金分割对连续统的奠基性探索出发，逐步深入导数的理性之争、泰勒展开的高维延伸、欧拉公式的 “神性”演绎，再到巴塞尔问题的 “封神”解法、微积分基本定理的本质突破，直至最速降线的经典博弈、拉马努金怪兽公式的奇幻魅力、傅里叶与拉普拉斯变换的实用智慧。本书将带你从深度理解公式及其底层逻辑开始，最终跳出公式的桎梏，真正读懂微积分的深层魅力与百年传承的天才们的数学智慧。
无论你是希望深化对微积分本质理解的理工科学生，渴望在教学中有更多思想渗透的教师，追求在严谨逻辑中获得审美愉悦的数学爱好者，还是希望通过微积分与AI对话，用好或者开发好的AI产品的职场人，本书都将为你提供一场既扎实又启发性十足的思维训练。它不满足于告诉你“是什么”，更致力于让你体验天才是“如何想”的，最终理解微积分底层逻辑，提升自己的认知与能力上限，奠定驾驭AI的基础。
作者简介：
侯丹，超级会讲数学的硬核博主，前阿里巴巴数据分析师，曾任顺丰海淘(后改名“丰趣海淘”)CTO，在人工智能领域多次创业，对人工智能的底层支撑——数学有深入和独到的理解。现全职运营硬核数学科普自媒体号“科技3D视界”，目前在抖音已经坐拥108万粉丝，B站68万粉丝，全网已超300万粉丝，其中的“正说微积分”视频合集在抖音播放量已过亿，全网播放量已破2亿。
目 录：
前言
第1章 戴德金分割与连续统 001
1.1 戴德金：那一年我已经死了?001
1.2 对不起，你不能用π来计算 ! 002
1.3 事关生死，捕捉无理数 005
1.4 柯朗眼中的极限和连续 010
1.5 博尔扎诺定理以及介值定理 015
1.6 涌动千年的暗流 019
第2章 遇事不决，泰勒展开 024
2.1 导数的理性之争 024
2.2 从导数演化出的炸裂观点 028
2.3 一个高燃的过程—微分和线性估计 036
2.4 无穷维空间的泰勒公式 038
2.5 那些高维空间的“超立方体” 043
2.6 从余项推导泰勒公式 046
2.7 牛顿在敲棺材板 050
第3章 欧拉公式，以及高斯的解读 056
3.1 欧拉的无聊夜晚：让我们来算个e吧! 056
3.2 接受我们最高的敬畏，“上帝公式” 062
3.3 欧拉公式的几个应用 064
3.4 可是，i究竟是什么? 066
3.5 复平面上的旋转 072
3.6 完美主义者高斯与代数基本定理 074
3.7 纯虚构的数字以及扩域 077
第4章 从无穷级数到巴塞尔问题 083
4.1 千奇百怪的无穷级数 083
4.2 奔跑的乌龟和发散的调和级数 092
4.3 欧拉的“成神”之战—巴塞尔问题 098
4.4 所有的质数都在这个公式里 105
第5章 微积分的基本定理 109
5.1 从无穷级数到积分 109
5.2 终于有了“名分”，黎曼积分 113
5.3 打破枯燥无趣，微积分的基本定理 117
5.4 对圆做些残忍的事 121
5.5 微积分的始祖—祖暅定理 124
5.6 圆锥体和球体的体积 130
第6章 从交错级数到斐波那契数列 135
6.1 完全相反?从无穷级数到交错级数 135
6.2 莱布尼茨的灵感爆发—生成函数 141
6.3 它是收敛的?达朗贝尔判别法 143
6.4 数学家都震惊了!柯西判别法 148
6.5 一个简单但非常重要的概念—收敛半径 152
6.6 用收敛半径来审问泰勒级数 155
第7章 数学豪门，以及曲线问题 159
7.1 一次影响数学史的学术挑战 159
7.2 最速降线问题—约翰·伯努利解法 163
7.3 摆线的表达式 169
7.4 心形曲线和它背后的浪漫故事 174
第8章 连分数及拉马努金的赤子之心 179
8.1 拉马努金的怪兽公式 179
8.2 完成怪兽公式的证明 187
8.3 让我们一起计算高斯积分 195
8.4 有条件的双重积分 200
8.5 用“野路子”求解连分数 203
第9章 拉格朗日和他的常数变易法 210
9.1 微分方程：从“瞪眼法”到“分离变量法” 210
9.2 “大陆学派”的代表—伯努利微分方程 214
9.3 另一种伟大实现—欧拉方法 219
9.4 拉格朗日用11年得到的常数变易法 224
第10章 苍蝇、积分变换及神兽 232
10.1 转盘上的苍蝇 232
10.2 被雪藏了15年的傅里叶变换 235
10.3 令人惊叹的离散傅里叶变换 240
10.4 尴尬而又漂亮的拉普拉斯变换 247
10.5 导数的拉普拉斯变换 250
10.6 利用拉普拉斯变换解微分方程 252
10.7 拉普拉斯的“神兽” 254
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摘要：《微积分之美：伟大定理和天才的数学思维》一书由侯丹所著，深入浅出地介绍了微积分的伟大定理和数学家的天才思维。全书以生动的故事和丰富的实例，揭示了微积分的起源、发展和应用，展现了数学家们独特的思维方式和创新精神。
1、微积分的起源与发展
微积分作为数学的一个重要分支，起源于17世纪的欧洲。在《微积分之美》中，侯丹详细介绍了微积分的起源和发展历程，从牛顿和莱布尼茨的创立，到现代微积分的广泛应用，展现了微积分的辉煌历程。
侯丹在书中提到，微积分的创立并非偶然，而是数学家们对自然界和人类社会的深入观察和思考的结果。从几何学的角度出发，微积分研究的是无限小量的变化规律，这对于理解自然界和人类社会的发展具有重要意义。
此外，侯丹还介绍了微积分在不同领域的应用，如物理学、工程学、经济学等，展示了微积分的广泛影响。
2、伟大定理的解析
《微积分之美》中，侯丹对微积分的伟大定理进行了深入解析，如费马定理、牛顿-莱布尼茨公式、泰勒公式等。通过对这些定理的阐述，读者可以更好地理解微积分的本质和内涵。
侯丹在书中提到，费马定理是微积分的基础，它揭示了曲线与切线的关系。牛顿-莱布尼茨公式则是微积分的核心，它建立了微分与积分之间的联系。泰勒公式则是微积分的一个重要应用，它可以将函数展开为多项式形式，便于计算和分析。
通过对这些定理的解析，读者可以感受到数学家们独特的思维方式和创新精神，以及微积分在解决实际问题中的重要作用。
3、数学家的天才思维
在《微积分之美》中，侯丹详细介绍了数学家们在微积分领域的创新思维和独特见解。这些数学家们以非凡的智慧，为微积分的发展做出了巨大贡献。
例如，牛顿在微积分的创立过程中，巧妙地运用了极限思想，将无限小量转化为有限量，为微积分的发展奠定了基础。莱布尼茨则从几何学的角度出发，提出了积分的概念，为微积分的发展提供了新的思路。
此外，侯丹还介绍了其他数学家在微积分领域的创新成果，如欧拉、拉格朗日、柯西等。这些数学家们的天才思维和独特见解，为微积分的发展注入了源源不断的活力。
4、微积分的应用与影响
微积分作为数学的一个重要分支，其应用领域广泛，对人类社会的发展产生了深远影响。在《微积分之美》中，侯丹详细介绍了微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
在物理学领域，微积分被广泛应用于力学、电磁学、热力学等学科，为科学研究提供了有力工具。在工程学领域，微积分被广泛应用于工程设计、材料科学、航空航天等，为工程实践提供了理论支持。
在经济学领域，微积分被广泛应用于金融学、统计学、运筹学等，为经济分析和决策提供了有力工具。微积分的应用，不仅推动了科学技术的发展，也为人类社会带来了巨大的福祉。
总结：《微积分之美：伟大定理和天才的数学思维》一书以生动的故事和丰富的实例，揭示了微积分的起源、发展和应用，展现了数学家们独特的思维方式和创新精神。通过对微积分的深入解析，读者可以更好地理解微积分的本质和内涵，感受数学的无限魅力。
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